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模糊数学论文 数学小论文

作者:刚子seo 日期:2023-10-16 点击数:

老铁们,大家好,相信还有很多朋友对于模糊数学论文和数学小论文的相关问题不太懂,没关系,今天就由我来为大家分享分享模糊数学论文以及数学小论文的问题,文章篇幅可能偏长,希望可以帮助到大家,下面一起来看看吧!

数学小论文

模式识别

§2-1模式识别及识别的直接方法

在日常生活中生活中,经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识别、故障(疾病)的诊断、矿藏情况的判断等,其特点就是在已知各种标准类型前提下,判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式识别。

一、模糊模式识别的一般步骤

模式识别的问题,在模糊数学形成之前就已经存在,传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下,标准类型常可用模糊集表示,用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的,以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。

模式识别主要包括三个步骤:

第一步:提取特征,首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征,并度量这些特征,设分别为每个特征的度量值,于是每个识别对象就对应一个向量,这一步是识别的关键,特征提取不合理,会影响识别效果。

第二步:建立标准类型的隶属函数,标准类型通常是论域的模糊集,是识别对象的第个特征。

第三步:建立识别判决准则,确定某些归属原则,以判定识别对象属于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则(直接法)和择近原则(间接法)两种。

二、最大的隶属度原则

若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集,待识别对象是论域中的某一元素(个体)时,往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型,因而隶属度不为1,这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法加以识别,这种方法(以及下面的“阈值原则”)是处理个体识别问题的,称为直接法。

最大隶属度原则:设是个标准类型,,若

则认为相对隶属于所代表的类型。

例1通货膨胀识别问题

通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定;轻度通货膨胀;中度通货膨胀;重度通货膨胀;恶性通货膨胀.以上五个类型依次用(非负实数域,下同)上的模糊集表示,其隶属函数分别为:

其中对,表示物价上涨。问时,分别相对隶属于哪种类型?

解,

由最大隶属原则,应相对隶属于,即当物价上涨时,应视为轻度通货膨胀;,应相对隶属于,即当物价上涨时,应视为恶性通货膨胀。

三、阈值原则

在使用最大隶属度原则进行识别中,还会出现以下两种情况,其一是有时待识别对象关于模糊集中每一个隶属程度都相对较低,这时说明模糊集合对元素不能识别;其二是有时待识别对象关于模糊集中若干个的隶属程度都相对较高,这时还可以缩小的识别范围,关于这两种情况有如下阈值原则。

阈值原则:是个标准类型,为一阈值(置信水平)令

若则不能识别,应查找原因另作分析。

若d且有,…则判决相对地属于

例2三角形识别问题

我们把三角形分成等腰三角形,直角三角形,正三角形,非典型三角形,这四个标准类型,取定论域

这里是三角形三个内角的度数,通过分析建立这四类三角形的隶属函数为:

现给定,,对上述四个标准类型的隶属度为:

由于关于,的隶属程度都相对高,故采用阈值原则,取,因,,按阈值原则,相对属于∩,即可识别为等腰直角三角形。

例3癌细胞识别

在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型,即:癌细胞,重度核异质细胞,轻度核异质细胞,正常细胞

选取表征细胞状况的七个特征:

根据病理知识,反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个,它们都是上的模糊集:

上述是适当选取的常数

细胞识别中的几个标准类型分别定义为:

上述定义中的模糊集的隶属函数为。另两个模糊集、的隶属函数类似定义。

给定待识别细胞,设的核面积等七个特征值为据此可算出、、、,最后按最大隶属度原则识别。

例4冬季降雪量预报

内蒙古丰镇地区流行三条谚语:(1)夏热冬雪大,(2)秋霜晚冬雪大,(3)秋分刮西北风冬雪大,现在根据三条谚语来预报丰镇地区冬季降雪量。

为描述“夏热”、秋霜晚、秋分刮西北风等概念,在气象现象中提取以下特征:

:当年6~7月平均气温

:当年秋季初霜日期

:当年秋分日的风向与正西方向的夹角。

于是模糊集(夏热),(秋霜晚)、(秋分刮西北风)的隶属函数可分别定义为:

其中是丰镇地区若干年6、7月份气温的平均值,为方差,实际预报时取==0.98

其中是若干年秋季初霜日的平均值,是经验参数,实际预报时取=17(即9月17日),=10(即9月10日)。

取论域,“冬雪大”可以表示为论域上的模糊集,其隶属函数为:

∧∨

采用阈值原则,取阈值,测定当年气候因子。计算,若则预报当年冬季“多雪”,否则预报“少雪”。

用这一方法对丰镇1959~1970年间隔12年作了预报,除1965年以外均报对,历史拟合率为11/12。

§2-2贴近度与模式识别的间接方法

一、贴近度

表示两个模糊集接近程度的数量指标,称为贴近度,其严格的数学定义如下:

定义1设映射

:

满足下列条件:

(1),

(2),

(3)若满足

则称映射为上的贴近度,称为与的贴近度。

贴近度的具体形式较多,以下介绍几种常见的贴近度公式

(1) Hamming贴近度

(2)Euclid贴近度

(3)格贴近度

定义7映射

⊙,(或=⊙)

称为格贴近度,称为与格贴近度。其中,

(称为与的内积)

⊙(称为与的外积)

若,则

值得注意的是,这里的格贴近度是通过定义来规定的,事实上,格贴近度不满足定义1中(1),即,但是,当时,格贴近度满足定义1的(1)-(3)。另外格贴近度的计算很方便,且用于表示相同类型模糊度的贴近度比较有效,所以在实际应用中也常选用格贴近度来反映模糊集接近程度。

还有许多贴近度,这里不在一一介绍。

贴近度主要用于模糊识别等具体问题,以上介绍的贴近度表示式各有优劣,具体应用时,应根据问题的实际情况,选用合适的贴近度。

二、模式识别的间接方法——择近原则

在模式识别问题中,各标准类型(模式)一般是某个论域上的模糊集,用模式识别的直接方法(最大隶属度原则、阈值原则)解决问题时,其识别对象是论域中的元素。另有一类识别问题,其识别对象也是上的模糊集,这类问题可以用下面的择近原则来识别判决。

择近原则:已知个标准类型、、…、,为待识别的对象,上的贴近度,若

则认为与最贴近,判定属于一类。

例5岩石类型识别

岩石按抗压强度可以分成五个标准类型:很差()、差()、较好()、好()、很好()。它们都是上的模糊集,其隶属函数如下(图2-1)

0 200 400 600 900 1100 1800 2000

图 2-1

今有某种岩体,经实测得出其抗压强度为上的模糊集,隶属函数为(图2-3)。

图 2-3

试问岩体应属于哪一类。

计算与的格贴近度,得:

按择近原则,应属于类,即属于“较好”类(类)的岩石。

例6小麦亲本识别

在小麦杂交育种过程中,亲本选择是关键。现有五种类型的小麦亲本,它们是:

:早熟型,:矮杆型,:大粒型,

:高肥丰产型,:中肥丰产型。

判断小麦亲本类型的主要依据是以下五种性状特征:

:抽穗期,:株高,:有效穗数,

:主穗粒数,:百粒重。

第种类型亲本的第个特征,是模糊集,这些模糊集除(早熟型的抽穗期)与(矮杆型的株高)外,其余都是中间型的正态分布模糊集。为简单计,将正态分布函数展开,取前两项作它的近似值,则有

于是的隶属函数可表示为:

而,的隶属函数取为偏小值型:

为确定隶属函数中的参数值,在熟知的标准类型中,每类型选出个新本为样本,分别计算各样本的第个特征的均值及方差,取

以上参数值见表(2-1)

表 2-1

亲本

参数

性状早熟矮杆大粒高肥丰产中肥丰产

抽穗期- 6.7 1.1 5.5 9.6 1.0 5.8 11.9 1.2 5.2 11.3 0.9 5.1 8.9 1.2

株高 67.1 87.7 50.0- 70.0 72.4 67.9 90.9 52.2 67.9 81.2 35.9 76.5 84.6 57.5

有效穗数 9.1 11.2 18.1 8.3 18.2 10.8 9.4 13.2 15.6 9.8 13.2 11.3 7.2 13.2 5.8

主穗粒数 40.2 55.0 92.0 37.5 52.5 80.7 44.2 54.5 21.2 41.2 51.0 13.3 37.6 48.3 93.9

百粒重 3.0 4.4 0.3 2.4 3.4 0.3 4.0 6.0 0.3 3.6 4.2 0.3 3.3 4.0 0.2

现有一待识对象,它的第个特征是中间型正态分布模糊集,隶属函数可近似表示为:

式中参数值见表(2-2)

表 2-2

特性

参数抽穗期株高有效穗数主穗粒数百粒重

8.5 85.6 6.2 36.2 3.43

1.5 4 1.9 70 0.28

计算识别对象的第个特征与第种标准类型对应特征的格贴近度并定义第种标准类型与识别对象的贴近度为:

计算结果列于表(2-3)

表 2-3

早熟()

矮杆()

大粒()

高肥()

中肥()

(,)

0.50 1.00 1.00 1.00 1.00

(,)

1.00 0.00 1.00 0.76 0.99

(,)

1.00 0.88 0.77 0.64 0.96

(,)

0.23 0.98 0.89 0.83 0.98

(,)

1.00 1.00 0.98 1.00 1.00

(,)

0.23 0.00 0.77 0.64 0.96

表(2-3)的最后一行为与各标准类型的贴近度。由于与的贴近度最高(0.96),故判定识别对象为代表的类型,即为中肥丰产类型的亲本。

例7遥感土地复盖类型分类

遥感是根据不同的地物对电磁波谱有不同的响应这一原理,来识别土地复盖的类型。空间遥感的一个象元相当于地面0.45公倾地物的综合。遥感图象识别分类中,要涉及不少模糊概念,例如,“以红松为主的针叶林”就是一个没有明确界线的模糊概念。这是遥感本身的特性决定的。因此用模糊数学的方法对遥感图象进行识别分类应该是行之有效的方法。

美国爱达荷大学R.C.Heller教授指出,国际上当以水体、沙地、森林、城镇、作物、干草作为分类单位(即标准类型)时,空间遥感的分类精度可达83.93%甚至更高。但当分类单位深入到更小的土地复盖单元时,精度就不理想了。

现在将分类单位细分阶段为以下五种标准类型:

:公路,:村庄农田,:红松为主的针叶林,

:阔、针混交林,:白桦林。

对于多波段遥感技术,假设采用个波段,则每一地物对应一个维数据向量。1975年1月22日美国发射LandSat-2,提供了MSS-4,5,6,7这四个波段的数据,故有。取论域

其中分别为象元对应于MSS-4,5,6,7各波段的光谱强度。于是五种标准类型可表为上的模糊集。

由于各波段光谱强度是正态分布模糊集,故第个标准类型的(+3)波段光谱强度的隶属函数为:

定义第种标准类型为:

因而

其中为若干个第种类型第(+3)个波段光谱强度的均值,为方差,东北凉水林场的这些参数值见表(2-4)

表 2-4

标准类型 MSS-4 MSS-5 MSS-6 MSS-7

19.06 0.56 18.24 1.60 51.24 4.32 25.24 1.98

21.89 2.88 24.68 4.82 47.37 4.09 21.63 2.39

15.46 1.22 12.58 0.88 36.54 3.55 17.33 2.08

16.22 0.64 12.78 0.58 42.41 2.87 21.22 1.50

17 0.82 13.2 0.42 45 0.94 23.20 0.42

设为识别对象,定义与的贴近度为:

(1)

其中=⊙(2)

表 2-5

类型

N

识别对象

max判别

结果效果

0.92 0.72 0.50 0.50 0.50 0.92

正确

0.65 0.99 0.50 0.50 0.50 0.99

正确

0.50 0.50 0.99 0.60 0.50 0.99

正确

0.50 0.50 0.61 0.99 0.65 0.99

正确

0.50 0.50 0.50 0.62 0.89 0.89

正确

按及⊙

(3-26)

(这里与是的均值与方差)。

现有东北凉水林场空间遥感象元(待识别对象)五个,按(1)与(2)计算它们与五个标准类型的贴近度,计算结果在表(2-5)按择近原则进行识别判决,准确率100%。

例8雷达识别

现有个雷达类,每个雷达类可用发射频率、脉冲重复频率、脉冲宽度等特征来刻画,假设共有个特征,第类雷达的第个特征可以取个值。由于保密的需要及信号环境的日益复杂,这些特征及其取值都带有一定的模糊性。设第类雷达的个特征为类雷达的第个特征取值为,其隶属函数为中间型柯西分布,即

设为待识别对象,它的个特征为的第个特征的隶属函数也取中间型柯西分布:

采用格贴近度,令

则为识别对象的第个特征与类雷达第个特征贴近程度的度量。

一般情况可令

(是各的加权平均值,权系数表示个特征的重要性程度)可作为识别对象与第类雷达总贴近的度量。根据的大小可判定属于何类雷达,但是,由于权系数的确定有一定的模糊性,及的隶属函数的确定带有一定的主观性,从而导致贴近度有一定的模糊性。因此对及进行模糊化处理,设

这里,都是模糊数(见第五章),取。

的隶属函数为

则为识别对象与第类雷达的贴近程度的模糊测度。

为得到所属雷达类别的确切判决,类似于阈值法则,给定水平值,令

若且唯一,则判定为类雷达;

若且,则判定为类雷达。

用上述方法(将权系数及贴近度模糊化),经上千次仿真试验,比传统的贴近度及线性加弘平均法,误判率有所下降。

第三章模糊规划

§3-1模糊极值

一、有界函数的模糊极值

设(为实数集)

是有界函数,求函数的普通极值问题是求使

满足上式的为在上的最大值点,为最大值,最大值点不一定唯一.

设的一切最大值点的集合为

称为的优越集.当时,函数在处取到最大值,使达到最优.当时,虽不是最大值,但对不同的,与最大值的差异有所不同,也就是说,对于不属于的,它们的“优越性”程度有所不同,为了反映中各点不同的优越程度,将优越集模糊化,并利用它将极值模糊化.

定义1设是有界函数,定义的隶属函数为

()

称为的无条件模糊优越集称的的无条件模糊极大值.这里,它的求属函数按扩张原理为

(约定)

注(1)当为的极大点,即时,当为的极小点,即时,充分必要条件是

(2)当时,

当时,

当时,

因此,反映了在模糊意义下,对的模糊数大值的求属程度.

例1设,,

定义,,,,则

,并且

于是

的无条件模糊极小集定义为的无条件极大集,显然有

且有,,所有极小集是极大集的余集.

二、模糊约束下有界函数的模糊极值

设:是有界函数,,考虑在约束下的最大值问题,这是一个模糊规划问题,求解这个问题意味着既要最大限度地满足约束,又要最大限度地达到理想目标,为此定义如下:

定义2设目标函数是有界函数,是模糊约束,令

这里的是定义1中的无条件模糊优越集,称为在约束下的条件模糊优越集,称为在约束下的条件模糊极大值.它们的求属函数分别为:

求解目标函数在模糊约束下的条件极大值有如下三个步骤:

(1)求无条件模糊优越集

(2)求条件模糊优越集

(3)求条件最佳决策,即选择,使

就是所求的条件极大点,就是在模糊约束下的条件极大值.

例2采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容,其目的就是建立完善的矿井生产系统,实现采区合理集中生产,改善技术经济指标.合理地选择最优巷道布置方案,对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用,在选择最优巷道布置方案时,要求达到下列标准:

(1)生产集中程度高;(2)采煤机械化程度高;

(3)采区生产系统十分完善;(4)安全生产可靠性好;

(5)煤炭损失率低;(6)巷道掘进费用尽可能低.

上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题,我们可以把(1)~(5)作为模糊约束,而把(6)作为目标函数.

设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择,即={(方案Ⅰ),(方案Ⅱ),(方案Ⅲ),(方案Ⅳ),(方案Ⅴ),(方案Ⅵ)}.

经过对六种方案进行审议,评价后,将其结果列于表1

方案

评价项目

:生产集中程度高

较低高较高很高较高较高

:采煤机械化程度高

高较高较高高很高高

:采区生产系统完善

一级较低较低很高高较高

:安全生产可靠度高

较低一般较低高一般高

:煤炭损失率低

高较高一般一般一般很低

:巷道掘进费用(万元)

59.40 69.10 78.80 34.50 44.20 63.60

将表1中的语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集,的隶属度转化的对应关系如下:

对,,,而言,对应关系为:

很低较低一般较高高很高

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

对而言,对应关系为

很低较低一般较高高很高

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

将表1中的巷道掘进费用目标函数用公式

计算出,因此得表2

其值语言与隶属函数转换表2

方案

0.2 0.8 0.4 1.0 0.6 0.6

0.8 0.6 0.6 0.8 1.0 0.8

0.4 0.2 0.2 1.0 0.8 0.6

0.2 0.4 0.2 0.8 0.4 0.8

0.2 0.4 0.6 0.6 0.6 1.0

0.44 0.22 0 1 0.78 0.34

计算模糊判决集为

(按列求最小)

根据最大求属度原则,方案四最优

例3在某种食品中投放某种调味剂,每公斤食品中的含量设为克,对顾客爱好作调查统计,得爱好函数为

对于使爱好函数值越大的值,所制产品越畅销,因而收益越大,但是由于成本核算等等原因,对值需要进行限制,这种限制集合的边界是模糊的,即的约束条件为一模糊集,其隶属函数为

试确定合理的剂量,使得在接受约束的条件下,获得最优收益.

解这是一个规划问题,分三步进行.

(1)求无条件模糊优越集,由于

令,得.又当时,,时,,因而,.因此

(2)求条件模糊优越集

其中满足方程

(3)选择,使

即对目标的可能度为45.93%,而要实现这种可能性,应选择调味剂的最佳剂量为2.085克.

需要说明的是,在本例中如果将约束条件确切化,以的核[0,1]为约束,这是一个普通规划问题,所得结论是选择最佳剂量为1克.从约束条件看,已是100%遵守,但所能达到的最高目标相对整个目标函数来说是很低的,由,说明相对整个目标其优越程度仅达24.6%.如果把条件放松为模糊约束条件,且适当降低的水平,却可以获得较好的目标值.如例中的结果,当时,从接受约束条件来看虽仅达45.9%,但目标函数的优越程度也升到了45.9%,从而提高了整体优化水平.由于在实际问题中,约束条件往往不是绝对的,有一定的伸缩性,模糊规划的思想就是利用这点灵活性,兼顾目标函数与约束条件综合地选择最优方案.

例4植物的种植密度与产量有密切的关系.已知某种杉树的种植密度与产量的关系如下:

这里表示每公顷土地上种植的棵数,表示每公顷土地产出木材的体积.现有一片杉树森林,其密度不均匀,估计“大约是三千”.试估计该森林每公顷木材最高产量.

解设表示“大约是三千”这一模糊,的隶属函数为

估计木材产量的问题,就是求在的约束下函数的模糊条件极大值.为此先求有界函数的无条件模糊优越集.因,,所以

在约束条件下的条件模糊优越集为:

条件模糊极值为,其隶属函数为:

为求条件最佳决策,即满足条件

注意到的隶属函数曲线是单调降的,而是正态分布模糊集,在约束下的模糊最佳决策(即模糊条件极大点),是方程

的两个根当中的较小者,解之得.

由可知,时,接受约束的程度为46.9%,相对于整体目标函数,优越程度也是46.9%.

由可知,该森林每公顷木材最高产量估计为.

§3-2模糊线性规划

一、普通线性规划

普通线性规划的一般形式为

目标函数

约束条件

矩阵表达形式

其中

线性规划问题的标准形式

(3-1)

二、模糊线性规划

在实际问题中,有时线性规划的约束条件带有模糊性,这就是解谓的模糊线性规划,其模型为

这是“”表示一种弹性约束,可读作“近似小于等于”.“近似小于等于”是一个模糊概念,可以用一个模糊集来表示它.表示第个约束的左边表达式,模糊集表示“”这一事实,当时,完全接受约束,应有;适当选择一个伸缩系数,约定当时,不认为,这时应有;当时,应从1下降到0,表示约束程度降低.为了简单可行,规定如下:

设,对每一个约束,相应地有中一个模糊渠与之对应,它的隶属函数为

其中是适当选择的常数,叫做伸缩指标,,这样一来,我们将弹性约束转化成模糊约束,再令就将全部约束条件转化成一个模糊约束.

当时,退化为普通约束集,模糊约束条件中“”退化为“”

模糊线性规划的模型简记为

(3-2)

约束的弹性必然导致目标的弹性,为将目标函数模糊化,先求解普通线性规划问题:

满足(3-3)

以及

满足(3-4)

其中称为(3-2)的伸缩指标向量.

设是(3-32)的最优值,是(3-4)的最优值.所满足的约束条件为,对应的模糊约束.若适当降低模糊约束的隶属度,可以相应提高目标函数值,所满足的约束条件已放到最宽,对应的模糊约束也接近于0.于是目标函数的弹性可表示为.为此构造模糊目标集.其隶属函数为

其中

由模糊目标的上述隶属函数可知,当时,,要提高目标函数值使之大于.就必须降低.为了兼顾目标与约束,可采用模糊决策为,最佳决策为,满足

若令,则有

于是求最佳决策的问题,就转化为求普通线性规划问题:

(3-5)

求解上述普通规划问题,可得

最佳决策

目标函数值.

例5:求解模糊线性规划问题

(3-6)

解(一)解普通线性规划

(二)解普通线性规划

(三)解普通线性规划

解这个线性规划采用大法

原线性规划改写为

从而(3-4)的最优值

例6某企业根据市场信息及自身生产能力,准备开发甲、乙两种系列产品.甲种系列产品最多大约能生产400套,乙种系列产品最多大约能生产250套.据测算,甲种产品每套成本3万元,每套获纯利润7万元;乙种系列产品每套成本2万元,每套获纯利润3万元.生产甲、乙两种系列产品的资金总投入大约不能超过1500万元.在上述条件下,如何安排两种系列产品的生产,才能使企业获利最大?

解设甲种系列产品生产套,乙种系列产品生产套,则

目标:

约束:(3-7)

设约束条件(1)、(2)、(3)的伸缩系数分别取为(元),(套),(套).为将目标函数模糊化,解经典线性规划问题

使

(4)

用单纯形法求解,得,,

再解经典线性规划问题

(5)

解得

,,

于是

将、、、、代入(3-5),将原问题经为经典线性规划问题:

使

上述线性规划问题最优解为,,.因此安排甲种系列产品403套、乙种系列产品159套(取整数)时,能获得最大利润,最大利润为:

万元

对比经典线性规划问题(4),利润提高43.75万元,这是因为甲种系列产品403套比400套多3套;乙种系列产品生产159套比150套多9套,这是在伸缩指标允许范围内.总费用元虽然比1500超出27元,这也是伸缩指标允许的.以上讨论说明,在适当放松约束时可以提高利润.

模糊数学.什么东西

模糊数学是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法。 1965年美国控制论学者L.A.扎德发表论文《模糊集合》,标志着这门新学科的诞生。现代数学建立在集合论的基础上。一组对象确定一组属性,人们可以通过指明属性来说明概念,也可以通过指明对象来说明。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延,外延实际上就是集合。一切现实的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架。经典的集合论只把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上,它明确地规定:每一个集合都必须由确定的元素所构成,元素对集合的隶属关系必须是明确的。对模糊性的数学处理是以将经典的集合论扩展为模糊集合论为基础的,乘积空间中的模糊子集就给出了一对元素间的模糊关系。对模糊现象的数学处理就是在这个基础上展开的。

从纯数学角度看,集合概念的扩充使许多数学分支都增添了新的内容。例如不分明拓扑、不分明线性空间、模糊测度与积分、模糊群、模糊范畴、模糊图论等。其中有些领域已有比较深入的研究。

模糊性数学发展的主流是在它的应用方面。由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式,人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。例如模糊聚类分析、模糊综合评判、模糊决策、模糊控制等。这些方法构成了一种模糊性系统理论,构成了一种思辨数学的雏形,它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生物、农业、林业、化工、语言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。模糊性数学最重要的应用领域应是计算机智能。它已经被用于专家系统和知识工程等方面。 [编辑本段]模糊数学的产生现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看,在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性,人们可以通过说明属性来说明概念(内涵),也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延,外延其实就是集合。从这个意义上讲,集合可以表现概念,而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理,一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。

但是,数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上,它明确地限定:每个集合都必须由明确的元素构成,元素对集合的隶属关系必须是明确的,决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物,经典集合论是暂时不去反映的,属于待发展的范畴。

在较长时间里,精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中,获得显著效果。但是,在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它,但是,由于现代科技所面对的系统日益复杂,模糊性总是伴随着复杂性出现。

各门学科,尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是,随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展,要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力,就必须研究和处理模糊性。

我们研究人类系统的行为,或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统,如航天系统、人脑系统、社会系统等,参数和变量甚多,各种因素相互交错,系统很复杂,它的模糊性也很明显。从认识方面说,模糊性是指概念外延的不确定性,从而造成判断的不确定性。

在日常生活中,经常遇到许多模糊事物,没有分明的数量界限,要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如,比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。这些概念是不可以简单地用是、非或数字来表示的。在人们的工作经验中,往往也有许多模糊的东西。例如,要确定一炉钢水是否已经炼好,除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外,还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。除了很早就有涉及误差的计算数学之外,还需要模糊数学。

人与计算机相比,一般人脑具有处理模糊信息的能力,善于判断和处理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差,为了提高计算机识别模糊现象的能力,就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序,以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断,从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。这样,就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具,这就推动数学家深入研究模糊数学。所以,模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。 [编辑本段]模糊数学的研究内容1965年,美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》,标志着模糊数学这门学科的诞生。

模糊数学的研究内容主要有以下三个方面:

第一,研究模糊数学的理论,以及它和精确数学、随机数学的关系。

查德以精确数学集合论为基础,并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律,开展有关的理论研究,就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础,能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。

在模糊集合中,给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况,而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度,还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念,70岁的肯定属于老人,它的从属程度是 1,40岁的人肯定不算老人,它的从属程度为 0,按照查德给出的公式,55岁属于“老”的程度为0.5,即“半老”,60岁属于“老”的程度0.8。查德认为,指明各个元素的隶属集合,就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时,就是模糊集合。

第二,研究模糊语言学和模糊逻辑。

人类自然语言具有模糊性,人们经常接受模糊语言与模糊信息,并能做出正确的识别和判断。

为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话,就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型,才能给计算机输入指令,建立和是的模糊数学模型,这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型,使人类语言数量化、形式化。

如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1,其他文法稍有错误,但尚能表达相仿的思想的句子,就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样,就把模糊语言进行定量描述,并定出一套运算、变换规则。目前,模糊语言还很不成熟,语言学家正在深入研究。

人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性,采用形式逻辑的排中律,既非真既假,然后进行判断和推理,得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的,它在处理客观事物的确定性方面,发挥了巨大的作用,但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。

为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点,就必须把计算机转到多值逻辑基础上,研究模糊逻辑。目前,模糊逻辑还很不成熟,尚需继续研究。

第三,研究模糊数学的应用。

模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要,查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化,从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来,过去精确数学、随机数学描述感到不足之处,就能得到弥补。在模糊数学中,目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。 [编辑本段]模糊数学的应用模糊数学是一门新兴学科,它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能,不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。

目前,世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机,1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机,它的推理速度是1000万次/秒。1988年,我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机——分立元件样机,它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。

模糊数学还远没有成熟,对它也还存在着不同的意见和看法,有待实践去检验。

什么是“模糊数学‘

模糊数学又称Fuzzy数学,是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法。模糊性数学发展的主流是在它的应用方面。

由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式,人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。例如模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评判、模糊决策与模糊预测、模糊控制、模糊信息处理等。

扩展资料

模糊数学为现代数学的基础,集合可以表现概念,把具有某种属性的东西的全体称为集合。现实生活中许多事物(或现象)的变化是过渡性的,没有明确的界限,如人长得高、矮、胖瘦等,都是模糊性的语言。

正思通感围像具有模物性的特征,为了提高分类精度,在通感图像识别中,引人模糊数学方法是很有前景的。应当指出,在目前的技术条件下,并算机自动识别方法还无法代特目视解译方法。

请介绍一下模糊数学

模糊数学是数学中的一门新兴学科,其前途未可限量。

1965年,《模糊集合》的论文发表了。作者是著名控制论专

家、美国加利福尼亚州立大学的扎德(L.A.Zadeh)教授。康托的集合论已成为现代数学的基础,如今有人要修改集合的概念,当然是一件破天荒的事。扎德的模糊集的概念奠定了模糊性理论的基础。这一理论由于在处理复杂系统特别是有人干预的系统方面的简捷与有力,某种程度上弥补了经典数学与统计数学的不足,迅速受到广泛的重视。近40年来,这个领域从理论到应用,从软技术到硬技术都取得了丰硕成果,对相关领域和技术特别是一些高新技术的发展产生了日益显著的影响。

有一个古老的希腊悖论,是这样说的:

“一粒种子肯定不叫一堆,两粒也不是,三粒也不是另一方面,所有的人都同意,一亿粒种子肯定叫一堆。适当的界限在哪里?我们能不能说,123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆?”

确实,“一粒”和“一堆”是有区别的两个概念。但是,它们的区别是逐渐的,而不是突变的,两者之间并不存在明确的界限。换句话说,“一堆”这个概念带有某种程度的模糊性。类似的概念,如“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等等,不胜枚举。

经典集合论中,在确定一个元素是否属于某集合时,只能有两种回答:“是”或者“不是”。我们可以用两个值0或1加以描述,属于集合的元素用1表示,不属于集合的元素用0表示。然而上面提到的“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等情况要复杂得多。假如规定身高1.8米算属于高个子范围,1.79米的算不算?照经典集合论的观点看:不算。但这似乎很有些悖于情理。如果用一个圆,以圆内和圆周上的点表示集A,而且圆外的点表示不属于A。A的边界显然是圆周。这是经典集合的图示。现在,设想将高个子的集合用图表示,则它的边界将是模糊的,即可变的。因为一个元素(例如身高1.75米的人)虽然不是100%的高个子,却还算比较高,在某种程度上属于高个子集合。这时一个元素是否属于集合,不能光用0和1两个数字表示,而可以取0和1之间的任何实数。例如对1.75米的身高,可以说具有70%属于高个子集合的程度。这样做似乎罗嗦,但却比较合乎实际。

精确和模糊,是一对矛盾。根据不同情况有时要求精确,有时要求模糊。比如打仗,指挥员下达命令:“拂晓发起总攻。”这就乱套了。这时,一定要求精确:“×月×日清晨六时正发起总攻。”我们在一些旧电影中还能看到各个阵地的指挥员在接受命令前对对表的镜头,生怕出个半分十秒的误差。但是,物极必反。如果事事要求精确,人们就简直无法顺利的交流思想——两人见面,问:“你好吗?”可是,什么叫“好”,又有谁能给“好”下个精确的定义?

有些现象本质上就是模糊的,如果硬要使之精确,自然难以符合实际。例如,考核学生成绩,规定满60分为合格。但是,59分和60分之间究竟有多大差异,仅据1分之差来区别及格和不及格,其根据是不充分的。

不仅普遍存在着边界模糊的集合,就是人类的思维,也带有模糊的特色。有些现象是精确的,但是,适当的模糊化可能使问题得到简化,灵活性大为提高。例如,在地里摘玉米,若要找一个最大的,那很麻烦,而且近乎迂腐。我们必须把玉米地里所有的玉米都测量一下,再加以比较才能确定。它的工作量跟玉米地面积成正比。土地面积越大,工作越困难。然而,只要稍为改变一下问题的提法:不要求找最大的玉米,而是找比较大的,即按通常的说法,到地里摘个大玉米。这时,问题从精确变成了模糊,但同时也从不必要的复杂变成意外的简单,挑不多的几个就可以满足要求。工作量甚至跟土地无关。过分的精确实际成了迂腐,适当的模糊反而灵活。

显然,玉米的大小,取决于它的长度、体积和重量。大小虽是模糊概念,但长度、体积、重量等在理论上都可以是精确的。然而,人们在实际判断玉米大小时,通常并不需要测定这些精确值。同样,模糊的“堆”的概念是建立在精确的“粒”的基础上,而人们在判断眼前的东西叫不叫一堆时,从来不用去数“粒”。有时,人们把模糊性看成一种物理现象。近的东西看得清,远的东西看不清,一般的说,越远越模糊。但是,也有例外的情况:站在海边,海岸线是模糊的;从高空向下眺望,海岸线却显得十分清晰。太高了,又模糊。精确与模糊,有本质区别,但又有内在联系,两者相互矛盾、相互依存也可相互转化。所以,精确性的另一半是模糊。

对模糊性的讨论,可以追溯得很早。20世纪的大哲学家罗素(B.Russel)在1923年一篇题为《含糊性》(Vagueness)的论文里专门论述过我们今天称之为“模糊性”的问题(严格地说,两者梢有区别),并且明确指出:“认为模糊知识必定是靠不住的,这种看法是大错特错的。”尽管罗素声名显赫,但这篇发表在南半球哲学杂志的文章并未引起当时学术界对模糊性或含糊性的很大兴趣。这并非是问题不重要,也不是因为文章写得不深刻,而是“时候未到”。罗素精辟的观点是超前的。长期以来,人们一直把模糊看成贬义词,只对精密与严格充满敬意。20世纪初期社会的发展,特别是科学技术的发展,还未对模糊性的研究有所要求。事实上,模糊性理论是电子计算机时代的产物。正是这种十分精密的机器的发明与广泛应用,使人们更深刻地理解了精密性的局限,促进了人们对其对立面或者说它的“另一半”——模糊性的研究。

扎德1921年2月生于苏联巴库,1942年毕业于伊朗德黑兰大学电机工程系,获学士学位。1944年获美国麻省理工学院(MIT)电机工程系硕士学位,1949年获美国哥伦比亚大学博士学位,随后在哥伦比亚、普林斯顿等著名大学工作。从1959年起,在加里福尼亚大学伯克莱分校电机工程、计算机科学系任教授至今。

扎德在20世纪50年代从事工程控制论的研究,在非线形滤波器的设计方面取得了一系列重要成果,已被该领域视为经典并广泛引用。60年代初期,扎德转而研究多目标决策问题,提出了非劣解等重要概念。长期以来,围绕决策、控制及其有关的一系列重要问题的研究,从应用传统数学方法和现代电子计算机解决这类问题的成败得失中,使扎德逐步意识到传统数学方法的局限性。他指出:“在人类知识领域里,非模糊概念起主要作用的惟一部门只是古典数学”,“如果深入研究人类的认识过程,我们将发现人类能运用模糊概念是一个巨大的财富而不是包袱。这一点,是理解人类智能和机器智能之间深奥区别的关键。”精确的概念可以用通常的集合来描述。模糊概念应该用相应的模糊集合来描述。扎德抓住这一点,首先在模糊集的定量描述上取得突破,奠定了模糊性理论及其应用的基础。

集合是现代数学的基础,模糊集合一提出,“模糊”观念也渗透到许多数学分支。模糊数学的发展速度也是相当快的。从发表的论文看,几乎是指数般的增长。模糊数学的研究可分三个方面:一是研究模糊数学的理论,以及它和精确数学、统计数学的关系;二是研究模糊语言和模糊逻辑;三是研究模糊数学的应用。在模糊数学的研究中,目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊凸论、模糊概率、模糊环论等分支。虽然模糊数学是一门新兴学科,但它已初步应用于自动控制、模式识别、系统理论、信系检索、社会科学、心理学、医学和生物学等方面。将来还可能出现模糊逻辑电路、模糊硬件、模糊软件和模糊固件,出现能和人用自然语言对话、更接近于人的智能的新的一类计算机。所以,模糊数学将越来越显示出它的巨大生命力。

是否有人反对呢?当然有。一些概率论学者认为模糊数学不过是概率论的一个应用而已。一些搞理论数学的人说这不是数学。搞应用的人则说道理说的很好,但真正的实际效果没有。然而,国际著名的应用数学家考夫曼(A.Kauffman)教授在访华时说:“他们的攻击是毫无道理的,不必管人家说什么,我们努力去做就是。”

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