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负号（负号求导变成什么）

作者：乾乾论文　日期：2023-06-04　点击数：

答案：负号求导后变成负号。

引言

在求导的时候，常常使用到负号来表示负数的情况，而在对含有负号的函数进行求导时，很多人会有这样一个疑问：负号求导后会变成什么？

负号求导的规律

负号是一种特殊的符号，它可以表示一个数的相反数。而在进行求导时，根据求导的定义及导数的性质，我们可以得出负号求导的规律：对于任意一个函数f(x)，若存在其导函数f'(x)，那么负号求导的规律为：

$$\frac{d}{dx}(-f(x))=-f'(x)$$

也就是说，将负号带到函数内部，然后对整个函数进行求导，并在结果前面加上负号，即为负号求导的结果。

证明方法

对于负号求导的规律，可以通过以下证明得到：

$$\begin{aligned}&\ \ \ \frac{d}{dx}(-f(x))\\ &=-\frac{d}{dx}(f(x))\ \ \ \ \ \ \ (将负号带入函数内部)\\ &=-\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\ \ \ \ \ \ \ (导数的定义)\\ &=-\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{-f(x-\Delta x)+(-f(x))}{\Delta x}\ \ \ \ \ \ \ (将f(x)和分母同时乘以-1)\\ &=-\lim_{-\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x-\Delta x)-f(x)}{-\Delta x}\ \ \ \ \ \ \ (令-\Delta x=\Delta x)\\ &=-(-f'(x))\ \ \ \ \ \ \ (导数的定义)\\ &=f'(x)\ \ \ \ \ \ \ (负负得正)\end{aligned}$$

可以看到，经过证明后得到的结果就是负号求导后变成负号的规律，因此我们可以得出结论：负号求导后变成负号。

应用举例

下面以一个具体的例子来说明负号求导的应用。

求函数 $y=-2x^2+3x-1$ 在 $x=1$ 处的导数。

将 $y$ 写成 $y=-(2x^2-3x+1)$ 的形式，然后对 $2x^2-3x+1$ 求导：

$$\begin{aligned}&\ \ \ \ \frac{d}{dx}(2x^2-3x+1)\\ &=4x-3\end{aligned}$$

然后再将结果乘以 $-1$，即可得到负号求导的结果：

$$\begin{aligned}&\ \ \ \ \frac{d}{dx}(-2x^2+3x-1)\Big|_{x=1}\\ &=-(4\cdot1-3)\\ &=-(1)\\ &=-1\end{aligned}$$

函数 $y=-2x^2+3x-1$ 在 $x=1$ 处的导数为 $-1$。

结论

在求导时，对于含有负号的函数进行求导时，负号求导会变成负号。这是由导数的定义及导数的性质所能够推导出来的一个规律，且具有一定的普适性，可以方便地应用于各种求导的算式中。